高等数学(上册)第五章：定积分

Posted on 2020-02-08 Edited on 2024-04-10 In 学习笔记 , 数学 Views: Disqus: Word count in article: 936 Reading time ≈ 1 mins.

定积分的概念与性质

定积分的性质

微积分基本公式

定理1

如函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么积分上限的函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
在$[a,b]$上可导，并且它的导数
$$
\Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(x) \quad(a \leqslant x \leqslant b)
$$

定理2

如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。

定理3(微积分基本定理)

如果函数$F(x)$时连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么
$$
\int^b_af(t)dt=F(b)-F(a)=[F(x)]^b_a
$$

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分布积分法

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=\left[\int u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]{a}^{b} \
&=\left[u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]{a}^{b} \
&=[u(x) v(x)]{a}^{b}-\int{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

简记作
$$
\int_{a}^{b} u \mathrm{d} v=[u v]{a}^{b}-\int{a}^{b} v \mathrm{d} u
$$