高等数学(上册)第一章：函数与映射

Posted on 2020-01-08 Edited on 2024-04-10 In 学习笔记 , 数学 Views: Disqus: Word count in article: 4k Reading time ≈ 4 mins.

授课教师：史悦
教材：
公邮：sygaoshu@sina.com 密码：2015101

函数与极限

实数的重要性质

有序性

对于任意的两个实数$a,b$,$a>b,a<b,a=b$，三者比必居其一且只是其一
若$a\leq b,a\geq b$,则$a=b$.
a,b,c为实数

有界性

对于任意实数$a$，总存在一实数$b$使$a<b$，无上界。

稠密性

任意性
推论

对于任意两实数$a<b$，

都存在实数$\delta >0$，

使$a<b<\delta$。
连续性

连续性

实数与直线上的点一一对应。

集合与平面集

领域

$a与\delta(\delta>0)$是两个实数，数集${x||x-a|<\delta}$称为点$a$的领域。点$a$称为领域中心，$\delta$称为领域半径。
$$
\cup(a,b)={x|a-\delta<x<a+\delta}
$$
点$a$的去心领域：
$$
\mathring{\cup}(a,\delta)={x|0<|x-a|<\delta}
$$

常用不等式

绝对值不等式
三角不等式
平均值不等式

若
$$
a_i\geq0(i=1,2,c\dots,n),
$$
则有：
$$
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac{a_i+a_2\cdots a_n}{n}
$$
柯西——施瓦兹不等式

设$a_i,b_i$是实数$(i=1,2,3,4,\cdots,n)$

有
$$
(\sum^n_{i=1}a_ib_i)^2\leq\sum^n_{i=1}a^2_i\sum^n_{i=1}b^2_i
$$

函数的概念

定义

设$x,y$是两个变量，$D$是一个给定的数集，如果对于每个数$x\in D$，变量$y$按照一定法则总有确定的数值与之对应，则称$y$是$x$的函数/

单值函数
多值函数

定义二

分段函数
$$
\begin{equation}
f(x)=sgn x\left{
\begin{aligned}
1&, & x>0\
0 & , & x=0 \
-1 & , & x<0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$
取整函数$y=[x]$,表示不超过$x$的最大整数。
迪利克雷函数
$$
\begin{equation}
y=D(x)=\left{
\begin{aligned}
1&,&x是整数 \
0&,&x是无理数
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$
取最值函数
$$
y=max{f(x),g(x)},\
y=min{f(x),g(x)}
$$

函数的初等函数

函数的有界性

$f(x)$在$i$上有界$\iff$$f(x)在i$上既有上界又有下界。
无界性

若$I\in D,\forall m>0,\exists x_0 \in I$,使$|f(x_0)|>m$，则$f(x)$在$I$上无界。
单调性
奇偶性
周期性

$$
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}
$$

反函数

$$
y=f(x),x=\varphi(y)或x=f^{\prime}(y) \implies y=f^{\prime}(x)
$$

单调函数一定存在单调反函数

反三角函数
$$
y=\sin x\implies y=\arcsin x
$$

推论一

如果$\lim f(x)$存在，且$c$围为常数，则$\lim cf(x)=c\lim f(x)$

推论二

若$\lim|f(x)|^n=[\lim xf(x)]^n$,，则$f(x)$存在。

推论三

若$\lim f(x)存在，且f(x)\geq0$,则$\lim\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim f(x)}$

常用等价无穷小及其性质

$$
\frac{a^n-1}{n}\sim\ln a,n\rightarrow0
$$

当$n\rightarrow0$时
$$
\begin{align}
&\sin x\sim x,& \arcsin x\sim x,& a^x-1 \sim x\ln a \
&\tan x\sim x,& \arctan x\sim x,& \sqrt[n]{1+n}\sim \frac{x}n{} \
&\ln(1+x)\sim x,& e^x-1\sim x,& 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2
\end{align}
$$

函数的运算

和差

$$
(f+g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D
$$

积
$$
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D
$$
商
$$
(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D
$$

初等函数

幂函数：$y=x^\mu(\mu 时常数)$
指数函数：$y=a^x(a>0,且a\neq 1)$
对数函数：$y=\log_ax,(a>0,a\neq1)$
三角函数：$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$
反三角函数：$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$

双曲函数与反双曲函数

$$
\begin{aligned}
\operatorname{sh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \
\operatorname{ ch } x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\
\operatorname{ th } x=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\end{aligned}
$$

反双曲函数
$$
\begin{aligned}
&y=\operatorname{arsh} x\
&y=\operatorname{arch} x\
&y=\operatorname{arth} x
\end{aligned}
$$

推论
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{sh}(x+y)=\operatorname{sh} x \operatorname{ch} y+\operatorname{ch} x \operatorname{sh} y\
&\operatorname{sh}(x-y)=\operatorname{sh} x \operatorname{ch} y-\operatorname{ch} x \operatorname{sh} y\
&\operatorname{ch}(x+y)=\operatorname{ch} x \operatorname{ch} y+\operatorname{sh} x \operatorname{sh} y\
&\operatorname{ch}(x-y)=\operatorname{ch} x \operatorname{ch} y-\operatorname{sh} x \operatorname{sh} y
\end{aligned}
$$

数列的极限

数列的概念

如果按照某一法则，对每一个,对应着一个确定的实数$x_n$,这些实数$x_n$按照下标$n$从小到大排列得到的一个序列
$$
x_1,x_2,\cdots,x_n
$$
就叫做数列，记为数列${a_n}$

定义

设${a_n}$为一整数列，如果存在常数$a$,对于任意给定的整数$\epsilon$，无论它多么小，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立，那么就称常数$a$式数列${a_n}$的极限，或者称数列收敛于$a$，记为
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}=a
$$
或
$$
x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)
$$
如果不存在这样的常数，则称该数列没有极限，或者说该数列式发散的。