指数函数的导数及其推理过程
先说结论：
$$
f(x)=a^x \
\implies f^\prime(x)=a^x\ln a(a>0,a\neq 1)
$$
推导一
`
推导二
对指数函数$M(t)=C^{t}$求导，
按照微积分的定义，有：
$$
\begin{aligned}
\frac{d M}{d t}(t) &=\frac{M(t+d t)-M(t)}{d t} \
&=\frac{C^{t+d t}-C^{t}}{d t} \
&=\frac{C^{t} C^{d t}-C^{t}}{d t} \
&=C^{t} \frac{C^{d t}-1}{d t}
\end{aligned}
$$
当$x\rightarrow 0$时，有
$$
a^x-1\sim x\ln a
$$
推理
因为当$x\rightarrow 0$时有
$$
e\sim(1+x)^\frac{1}{x}
$$则，有
$$
[(1+x\ln a)^\frac{1}{x\ln a}]^{\ln a}\sim e^{\ln a} \
(1+x\ln a)^\frac{1}{x}\sim a \
x\ln a\sim a^x-1
$$
所以其中$\frac{C^{\rm dt}-1}{\rm dt}$无论$C$取什么值都趋于一个常数，将上式带入得
$$
\frac{d M}{d t}(t) = C^t\frac{\rm dt\ln C}{\rm dt}
=C^t\ln C
$$
证明完毕。