概率论与数理统计(第一章):概率论的基本概念
教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《概率论与数理统计》(第四版)
授课教师：孙小娟
随机现象
在个别试验中其结果横线处不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。
随机试验
随机试验的特点
- 可以在相同的条件下重复地进行；
- 每次试验的可能结果不止一个，并且能实现明确试验的所有可能结果；
- 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；
样本空间、随机事件
随机试验E的所有可能结果主城的集合称为E的样本空间，记为$S_.$样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
试验$E$的样本空间$S$的子集称为随机事件,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
而由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
样本空间$S$包含是所有的样本点，它是$S$自身的子集，在每次实验中它总是发生，$S$称为必然事件，$\phi$空集不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，$\phi$被称为不可能事件
事件间的关系与事件的运算
事件关系
$A \subset B$
则称事件$B$包含事件$A$，这指事件$A$发生必然导致事件$B$发生。
而$A=B$时，则$A \subset B$且$B\subset A$,表明两事件相等。事件$A \cup B = {x|x \in A 或 x\in B}$
称为事件$A$与事件$B$的和事件，当且仅当$A$,$B$中至少有一个发生时，事件$A \cup B$发生。
类似地，称$$\bigcup^n_{k=1}A_k$$为n个事件$$A_1,A_2,\cdots,A_n$$的和事件；称$$\bigcup^\infty_{k=1}A_k$$为可列个事件$$A_1,A_2,\cdots$$的和事件。
事件$A \cap B= {x|x\in A 且 x\in B}$
称为事件$A$与事件$B$的积事件。当且仅当$A$,$B$同时发生时，事件$A\cap B$发生，$A\cap B$也记作$AB$。
事件$A-B={x|x\in A且x\notin B }$
称为事件$A$与$B$的差事件。当且仅当$A$发生、$B$不发生时事件$A-B$发生。
若$A\cap B=\varnothing$
称事件$A$与事件$B$是互补相容的，或是互斥的，这指两事件不能同时发生，基本事件是两两互不相容的。
若$A\cup B=S 且 A\cap B=\varnothing$
称事件$A$与$B$事件互为逆事件，又称两事件互为对立事件。
$A$的对立事件记为$\bar{A}$。$\bar{A}=S-A$
事件运算
交换律
$A\cup B = B\cup A$;$A\cap B = B\cap A$
结合律
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$分配率
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
概率与频率
频率
在相同的条件下，进行$n$次试验，在这$n$次试验中，事件$S$发生的次数$n_A$称为$A$发生的频数。
比值$\frac{n_A}{n}$称为事件$A$的频率，并记成$\int_n(A)$。
易见频率的基本性质：
- $0\leq \int_n(A)\leq1$；
- $\int_n(S)=1$
- 若$A_1,A_2,\cdots,A_n$是两两不相容事件
则$$\int(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k)=
\int_n(A1)+\int_n(A_1)+\cdots + \int_n(A_k)$$.
概率
设$E$是随机试验，$S$是它的样本空间。对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$，称为事件$A$的概率。满足下列条件：
非负性
对于每一个事件$A$，有$P(A)\geq 0 $;
规范性
对于必然事件$S$，有$P(S)=1$;
可列可加性
设$A_1,A_2,\cdots$是两两互不相容的时间，即对于$A_iA_j= \varnothing,i\neq j,i,j=1,2,\cdots$,有
$$
P(A_1\cup A_2 \cup \cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots
$$
概率的一些重要性质
- $P(\varnothing)=0$
- 有限可加性
$$
P(A_1\cup A_2 \cup \cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots
$$- 设$A,B$是两个事件，若$A\subset B$，则
$$
P(B-A)=P(B)-P(A);
\ p(B)\geq P(A)
$$
对于任一事件$A$，$P(A)\leq1$
逆事件概率为$P(\bar{A})=1-P(A)$
加法公式
对于任意两事件$A,B$有
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
$$
对于与任意三个事件，有
$$P(A_1A_2A_3) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\
-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)\
+P(A_1A_2A_3)
$$
等可能概型(古典概型)
特征
试验的样本空间只包含有限个元素；
$S={e_1,e_2,\cdots,e_n}$
试验中每个基本事件的发生可能性相同；
则有$P({e_1})=P({e_2})=\cdots P({e_n})=\frac{1}{n}$
条件概率
定义
设$A,B$是两个事件，且$P(A)>0$，称
$$
P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}
$$推论
对于任意事件$B_1,B_2$有
$$
P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1B_2|A)
$$
乘法定理
设$P(A)>0$,则有
乘法公式
$P(AB)=P(B|A)P(A)$
推论
$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式
设实现$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1,B_2,\cdots,B_n$为$S$的一个划分，且$P(B_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$,则
$$
P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)
$$
贝叶斯公式
设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1,B_2,\cdots,B_n$为$S$的一个划分，且$P(A)>O,P(B_i)>0,(i=i,2,\cdots,n)$，则
$$
P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}
{\sum^n_{i=1}P(A|B_i)P(B_j)},
i=1,2,\cdots,n
$$
$n=2$时的常用形式
$$
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})
$$
$$\begin{align}
P(B|A)&=\frac{P(AB)}{A(A)} \notag\
&=\frac{P(A|B)P(B)} {P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})} \notag
\end{align}$$
独立性
定义
设$A,B$事件，如果满足等式$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件$A,B$相互独立，简称$A,B$独立。
定理一
$A,B$是两事件，且$P(A)>0$.若$A,B$相互独立，则$P(B|A)=P(B)$，反之亦然。
定理二
若事件$A$与$B$相互独立，则下列事件也相互独立：
$$A与B，\bar{A}与A，\bar{A}与\bar{B}$$.推广
设$A,B,C$是三个事件，如果满足等式
$$\begin{cases}
P(AB)&=P(A)P(B)\
P(BC)&=P(B)P(C)\
P(AC)&=P(A)P(C)\
P(ABC)&=P(A)P(B)P(C)
\end{cases}$$ 则称事件$A,B,C$相互独立。若事件$A_1,A_2,\cdots,A_n(n\geq2)$相互独立则，
其中任意$k(2\leq k\leq n)$个事件也相互独立。
将其中任意多个事件换成他们各自的对立事件，所得的$n$个事件仍相互独立。