高等数学(下册)第九章：多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念
平面点集 *n维空间
$\mathbf{R}^{2}=\mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y) | x, y \in \mathbf{R}}$表示坐标平面。
平面上具有某种性质$P$的点的集合，称为平面点集，记作
$$
E={(x, y) |(x, y)具有性质P}
$$
$R^2$领域的概念
设$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$是$xOy$平面上的一点，$\delta$是某一正数。与点$P_0$距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$领域，记作$U\left(P_{0}, \delta\right)$，即
$$
U\left(P_{0}, \delta\right)=\left{P ||P P_{0}|<\delta\right}
$$
也就是
$$
U\left(P_{0}, \delta\right)={(x, y) | \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta}
$$
其取心领域为
$$
\mathring{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left{P|0<| P P_{0} |<\delta\right}
$$
几何上，$U\left(P_{0}, \delta\right)$就是$xOy$平面上以$P_0$为中心，$\delta>0$为半径的圆内部的点$P(x,y)$的全体。
点与点集的关系
内点：如果存在点$P$的某个领域$U(P)$，使得$U(P)\subset E$，那么称$P$为$E$的内点；
外点：$U(P) \cap E=\varnothing$
边界点：点$P$的任一领域既含有属于$E$的点，又不含有属于$E$的点
$E$的边界点的全体，称为$E$的边界，记作$\partial E$.
$n$维空间
线性运算的集合$R^n$称为$n$维空间。
$R^n$中点$\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$，和点$y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$间的距离，记作$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$，规定
$$
\rho(x, y)=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}
$$
$R^n$中元素$x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$与零元$0$之间的距离$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$记作$|x|$(在$\R_1,\R_2,R_3$中，通常将$|x|$记作$|x|$，即
$$
|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}
$$
结合向量的线性运算，便得
$$
|x-y|=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}=\rho(x, y)
$$
多元函数的概念
函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记作$f(D)$，即
$$
f(D)={z | z=f(x, y),(x, y) \in D}
$$
一般的，把定义1中的平面点集$D$换成$n$维空间$R^n$内的点集$D$，映射$f$：$D\rightarrow R$就称为定义在$D$上的$n$元函数，通常记为
$$
u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
$$
或简记为
$$
u=f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \boldsymbol{P}
$$
也可记为
$$
u=f(P), P\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
$$
当$n=1$时，$n$元函数就是一元函数；当$n\geq2$时，$n$元函数统称多元函数。
在一般地讨论用算式表达的多元函数$u=f(x)$时，就可以使这个算式有意义的边元$x$的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
多元函数的极限
多元函数的连续性
在有界闭区间上连续的多元函数具有如下性质：
偏导数
偏导数的定义及其算法
类似地，函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数定义为
$$
\lim {\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$
记作
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|{x=x{0}},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|{x=x{0}},\left.z_{y}\right|{x=x{0} \atop y=y_{0}} \quad \text { 或 } \quad f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$
高阶偏导数
全微分
通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。