高等数学(上册)第七章：微分方程

微分方程的概念

一般的，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。

而，微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般的，$n$阶微分方程的形式是
$$
F\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0
$$

设函数$y=\varphi(x)$在区间$I$上有$n$阶连续导数，如果在区间$I$上，
$$
F\left[x, \varphi(x), \varphi^{\prime}(x), \cdots, \varphi^{(n)}(x)\right] \equiv 0
$$
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与目标微分方程的阶数相同，那么称该解为方程的通解。

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可分离变量的微分方程

一般的，如果一个一阶微分方程能写成
$$
g(y) \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x
$$
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有$y$和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

例如：
$$
\frac{d y}{d x}=2 x y^{2}\
\implies \int\frac{d y}{y^{2}}=\int2 x d x\
\implies -\frac{1}{y}=x^{2}+C
$$

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奇次方程

如果一阶微分方程可化成
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
的形式，那么就称这方程为其次方程，例如
$$
\left(x y-y^{2}\right) d x-\left(x^{2}-2 x y\right) d y=0\
\implies \frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}\
\implies \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{1-2\left(\frac{y}{x}\right)}
$$

齐次方程的解法

在其次方程
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
中引进新的未知函数
$$
u=\frac{y}{x}
$$
就可以把它化为可分离变量的方程，
$$
y=u x, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}
$$
带入原方程可得
$$
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\varphi(u)
$$
即
$$
x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\varphi(u)-u
$$
分离变量，得
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x}
$$

两边分别积分
$$
\int \frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
求出积分后，再用$\frac{y}{x}$代替$u$所得便是方程的通解。

可化为齐次的方程

方程
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}
$$
在$c=c_1=0$时是齐次的，否则不是齐次的。在非奇次的情形下，可用下列变换把它化为齐次方程：令
$$
x=X+h, y=Y+k
$$
其中$h,k$，是待定的系数。于是
$$
\mathrm{d} x=\mathrm{d} X, \quad \mathrm{d} y=\mathrm{d} Y
$$
从而，原方程变为
$$
\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\frac{a X+b Y+a h+b k+c}{a_{1} X+b_{1} Y+a_{1} h+b_{1} k+c_{1}}
$$
如果方程组
$$
\left{\begin{array}{l}
{a h+b k+c=0} \
{a_{1} h+b_{1} k+c_{1}=0}
\end{array}\right.
$$
的系数行列式
$$
\left|\begin{array}{ll}
{a} & {b} \
{a_{1}} & {b_{1}}
\end{array}\right| \neq 0
$$

即$\frac{a_{1}}{a} \neq \frac{b_{1}}{b}$，那么可以定出$h$及$k$使它们满足上述方程租。这样，原方程便化为齐次方程
$$
\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\frac{a X+b Y}{a_{1} X+b_{1} Y}
$$
求出这齐次方程的通解后，在通解中以$x-h$代$X$，$y-k$代$Y$，便可求原方程的通解。

而当$\frac{a_{1}}{a}=\frac{b_{1}}{b}$，$h,k$无法求得，因此上述方法不能应用。但这时令$\frac{a_{1}}{a}=\frac{b_{1}}{b}=\lambda$，从而方程可写为
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{\lambda(a x+b y)+c_{1}}
$$
引入新变量$v=a x+b y$，则
$$
\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=a+b \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} 或 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-a\right)
$$
此时方程可写为
$$
\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-a\right)=\frac{v+c}{\lambda v+c_{1}}
$$
这是可分离变量的方程

以上方法可应用于更一般的方程
$$
\frac{d y}{d x}=f\left(\frac{a x+b y+c}{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}\right)
$$

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一阶线性微分方程

线性方程

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) \tag{4-1}
$$
叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数$y$及其导数时一次方程。如果$Q(x) \equiv 0$，那么该方程即使齐次的，如果$Q(x) \not\equiv 0$，那么方程就是非齐次的。

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=0 \tag{4-2}
$$
叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性防方程。对其分离变量得
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y}=-P(x) \mathrm{d} x
$$
两端积分
$$
\ln |y|=-\int P(x) \mathrm{d} x+C_{1}
$$
或
$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \quad\left(C=\pm \mathrm{e}^{c_{1}}\right)
$$
这是对应的齐次线性方程的通解。

现在使用常数变易法来求原非齐次方程的通解。将通解中的$C$换成$x$的未知函数$u(x)$，即作变换
$$
y=u \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\tag{4-3}
$$
于是
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}-u P(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}
$$
将上两式带入原非齐次方程得
$$
u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}-u P(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}+P(x) u \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}=Q(x)
$$

即
$$
u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=Q(x), u^{\prime}=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x}
$$
两端积分得
$$
u=\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C
$$
将上式带入(4-3)，便得非齐次线性方程的解
$$
y=\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C\right)
$$
将上式写成两项之和
$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}+\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x
$$
上式第一项是对应齐次线性方程的通解，第二项是非齐次线性方程(4-1)的一个特解(在$C=0$时方程(4-1)取得该通解)。由此，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解的和。

伯努利方程

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) y^{n} \quad(n \neq 0,1)
$$
叫做伯努利方程。当$n=0或n=1$时，就是线性微分方程。当不是线性时，可以通过变量代换，化为线性的。

两边除以$y^n$，得
$$
y^{-n} \frac{d y}{d x}+P(x) y^{1-n}=Q(x)
$$
上式左端第一项与$\frac{d}{d x}\left(y^{1-n}\right)$只差一个常数因子$1-n$，因此引入新的因变量
$$
z=y^{1-n}
$$
则
$$
\frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x}
$$
用$(1-n)$乘方程的两端，再通过上述代换便得线性方程
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}+(1-n) P(x) z=(1-n) Q(x)
$$
求出该方程的通解后，再以$y^{1-n}$代$z$便得到伯努利方程的通解。

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可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$型的微分方程

方程
$$
y^{(n)}=f(x)
$$
右边只含有自变量$x$，只要把$y^{n-1}$作为新的未知函数，两边积分，就得到一个$n-1$阶的微分方程
$$
y^{(n-1)}=\int f(x) \mathrm{d} x+C_{1}
$$
同理
$$
y^{(n-2)}=\int\left[\int f(x) \mathrm{d} x+C_{1}\right] \mathrm{d} x+C_{2}
$$

$y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$型的微分方程

方程

$$
y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)\tag{5-7}
$$
右端不含未知函数$y$.如果我们设$y\prime=p$，那么
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=p^{\prime}
$$
方程(5-7)就变成
$$
p^{\prime}=f(x, p)
$$
这是一个关于变量$x,p$的一阶微分方程。设通解为
$$
p=\varphi\left(x, C_{1}\right)
$$
但是$=p=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，因此又得到一个一阶微分方程
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(x, C_{1}\right)
$$
对它积分便可求得方程(5-7)的通解
$$
y=\int \varphi\left(x, C_{1}\right) \mathrm{d} x+C_{2}
$$

$y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$型的微分方程

方程
$$
y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)\tag{5-11}
$$
中，不明显地含自变量$x$，可设$y\prime=p$，并利用复合函数的求导法则把$y\prime\prime$化为对$y$的对数，即
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}
$$
于是，方程就成了
$$
p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=f(y, p)
$$
这是一个关于变量$y,p$的一阶微分方程。设它的通解为
$$
y^{\prime}=p=\varphi\left(y, C_{1}\right)
$$
分离变量并积分，变得方程(5-11)的通解
$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi\left(y, C_{1}\right)}=x+C_{2}
$$

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高阶线性微分方程

线性微分方程解的结构

二阶齐次线性方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\tag{6-6}
$$
定理一：如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程(6-6)的解，那么
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)\tag{6-7}
$$
也是方程的解，其中$C_1,C_2$是任意常数。

定理二：如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程(6-6)的两个线性无关的特解，那么
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x),(C_1,C_2是任意常数)
$$
就是方程(6-6)的通解。

推论：如果$y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)$是$n$阶线性方程
$$
y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=0
$$
的$n$个线性无关的解，那么，此方程的通解为
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)+\cdots+C_{n} y_{n}(x)
$$
其中$C_1,C_2,…,C_n$为任意常数。

定理三：设$y^*(x)$是二阶非齐次线性方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)\tag{6-5}
$$
的一个特解。$Y(x)$是与(6-5)对应的齐次方程的通解，则
$$
y=Y(x)+y^{*}(x)
$$
是二阶非齐次线性微分方程(6-5)的通解。

定理四：设非齐次线性方程(6-5)的右端$f(x)$是两个函数之和，即
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x)\tag{6-9}
$$
而$y^*(x),y^*(x)$分别是方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{1}(x)
$$
与
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{2}(x)
$$
的特解，则
$$
y_{1}^{}(x)+y_{2}^{}(x)
$$
就是原方程的特解。

常数变易法

如果已知齐次方程(6-6)的通解为
$$
Y(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)
$$
令
$$
y=y_{1}(x) v_{1}+y_{2}(x) v_{2}\tag{6-10}
$$
要确定未知函数$v_1(x),v_2(x)$使(6-10)式表示的函数满足非齐次方程(6-5)。为此，对(6-10)进行求导，得
$$
y^{\prime}=y_{1} v_{1}^{\prime}+y_{2} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}
$$
由于两个未知函数$v_1,v_2$只需使(6-10)式所表示的函数满足一个关系式(6-5)，所以可规定它们再满足一个关系式，从$y\prime$的上述表示式可看出，为了使$y\prime\prime$的表示式中不含有$v\prime\prime,v_2\prime\prime$,可设
$$
y_{1} v_{1}^{\prime}+y_{2} v_{2}^{\prime}=0\tag{6-11}
$$
从而
$$
y^{\prime}=y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}
$$
再求导，得
$$
y^{\prime \prime}=y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime \prime} v_{1}+y_{2}^{\prime \prime} v_{2}
$$
把$y,y\prime,y\prime\prime$带入方程(6-5)，得
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime \prime} v_{1}+y_{2}^{\prime \prime} v_{2}+P\left(y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}\right)+Q\left(y_{1} v_{1}+y_{2} v_{2}\right)=f
$$
整理得
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+\left(y_{1}^{\prime \prime}+P y_{1}^{\prime}+Q y_{1}\right) v_{1}+\left(y_{2}^{\prime \prime}+P y_{2}^{\prime}+Q y_{2}\right) v_{2}=f
$$
因为$y_1,y_2$是齐次方程(6-6)的解，故上式即为
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}=f\tag{6-12}
$$
联立方程(6-11)与(6-12)，在系数行列式
$$
W=\left|\begin{array}{ll}
{y_{1}} & {y_{2}} \
{y_{1}^{\prime}} & {y_{2}^{\prime}}
\end{array}\right|=y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} y_{2} \neq 0
$$
可解得
$$
v_{1}^{\prime}=-\frac{y_{2} f}{W}, v_{2}^{\prime}=\frac{y_{1} f}{W}
$$
对上式两端积分(假定$f(x)$连续)，得
$$
v_{1}=C_{1}+\int\left(-\frac{y_{2} f}{W}\right) \mathrm{d} x, v_{2}=C_{2}+\int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{d} x
$$
于是非齐次方程(6-5)的通解为
$$
y=C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} \mathrm{d} x+y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{d} x
$$

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常系数齐次线性微分方程

方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,(p,q为常数)\tag{7-2}
$$
那么称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果$p,q$不全为常数，称为二阶变系数齐次线性微分方程。

因为，当$r$为常数时，指数$y=e^{rx}$和它的各阶导数都只相差一个常数因子。因此以$y=e^{rx}$来尝试，能否选取适当的$r$来使$y=e^{rx}$来满足方程(7-2)。

令$y=e^{rx}$，则原齐次方程变为
$$
\left(r^{2}+p r+q\right) e^{r x}=0
$$
因为$e^{rx}\neq0$，所以
$$
r^{2}+p r+q=0\tag{7-3}
$$
由此可见，只要$r$满足代数方程(7-3)，函数$y=e^{rx}$就是微分方程(7-2)的解，我们把(7-3)叫做微分方程(7-2)的特征方程。

其中$r^2,r$的系数项恰好依次是目标微分方程中$y\prime\prime,y\prime,y$的系数。

特征方程(7-3)的两个根$r_1,r_2$可以用公式
$$
r_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4 q}}{2}
$$
表示，它有三种不同的情形。

• 1 当$p^{2}-4 q>0$时，$r_1,r_2$时两个不相等的实根
  $$
  r_{1}=\frac{-p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}, \quad r_{2}=\frac{-p-\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}
  $$

• 2 当$p^{2}-4 q=0$，$r_1,r_2$时两个相等的实根
  $$
  r_{1}=r_{2}=-\frac{p}{2}
  $$

• 3 当$p^{2}-4 q=0$，$r_1,r_2$是一对共轭复根

$$
r_{1}=\alpha+\beta \mathrm{i}, \quad r_{2}=\alpha-\beta \mathrm{i}
$$

其中
$$
\alpha=-\frac{p}{2}, \quad \beta=\frac{\sqrt{4 q-p^{2}}}{2}
$$
对应的，微分方程(7-2)的解也有三种不同的情形。

• 特征方程有两个不相等的实根

由上面的论述知道，$y_{1}=e^{r_{1} x}, y_{2}=e^{r_{2} x}$，是微分方程(7-2)的解，并且
$$
\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{r_{2} x}}{e^{r_{1} x}}=e^{\left(r_{2}-r_{1}\right) x}
$$
不是常数，因此微分方程(7-2)的通解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+C_{2} \mathrm{e}^{r_{2} x}
$$

• 特征方程有两个相等的实根

这时，微分方程(7-2)的一个解
$$
y_{1}=\mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
但为了求出微分方程(7-2)的通解，还需要一个解$y_2$，并且$\frac{y_2}{y_1}$不等于常数。设$\frac{y_{2}}{y_{1}}=u(x)$，即$y_{2}=e^{r_{1} x} u(x)$。下面来求$u(x)$。将$y_2$求导，得
$$
\begin{array}{l}
{y_{2}^{\prime}=\mathrm{e}^{r_{1} x}\left(u^{\prime}+r_{1} u\right)} \
{y_{2}^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{r_{1} x}\left(u^{\prime \prime}+2 r_{1} u^{\prime}+r_{1}^{2} u\right)}
\end{array}
$$
将$y,y\prime,y\prime\prime$代入微分方程(7-2)，得
$$
\mathbf{e}^{r_{1} x}\left[\left(u^{\prime \prime}+2 r_{1} u^{\prime}+r_{1}^{2} u\right)+p\left(u^{\prime}+r_{1} u\right)+q u\right]=0
$$
约去$e^{r_1x}$合并同类项
$$
u^{\prime \prime}+\left(2 r_{1}+p\right) u^{\prime}+\left(r_{1}^{2}+p r_{1}+q\right) u=0
$$
由于$r_1$是特征方程(7-3)的二重根。因此$r_{1}^{2}+p r_{1}+q=0$，且$2 r_{1}+p=0$，于是得
$$
u^{\prime \prime}=0
$$
因为这里想要一个部位常数的解，所以不妨取$u=x$，由此得微分方程(7-2)的另一个解
$$
y_{2}=x \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
从而微分方程(7-2)的通解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+C_{2} x \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
即
$$
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$

• 特征方程有一对共轭复根：$r_{1}=\alpha+\beta \mathrm{i}, r_{2}=\alpha-\beta \mathrm{i}(\beta \neq 0)$。

此时，
$$
y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta \mathrm{i}) x}, y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta \mathrm{i}) x}
$$
是微分方程(7-2)的两个解，但它们是复值形式。为得到实值形式的解，先利用欧拉公式
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta
$$
把$y_1,y_2$改写成
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta \mathrm{i}) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{\beta \mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x+\mathrm{i} \sin \beta x)\
&y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta 1) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{-\beta x \mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x-\mathrm{i} \sin \beta x)
\end{aligned}
$$
由于复值函数$y_1,y_2$之间共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以$2i$就得到它们的虚部。由于方程(7-2)的解符合叠加原理，所以实值函数

还是微分方程(7-2)的解，且
$$
\frac{\bar{y}{1}}{\bar{y}{2}}=\frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x}=\cot \beta x
$$
不是常数，所以为微分方程(7-2)的通解为
$$
y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)
$$

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0\tag{7-2}
$$
的通解步骤为

第一步 写出微分方程(7-2)的特征方程
$$
r^{2}+p r+q=0\tag{7-3}
$$
第二步 求出特征方程(7-3)的两个根$r_1,r_2$。

第三步 根据特征方程(7-3)的两个根的不同形式，按下列表格写出微分方程(7-2)的通解：

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常系数非齐次线性微分方程

一般形式
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x),(p,q为常数)\tag{8-1}
$$

求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0
$$
的通解和非齐次方程(8-1)本身的一个特解。

$f(x)=e^{\lambda x} P_{m}(x)$型

考虑选取适当的多项式$R(x)$，使$y^{}=R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$满足方程(8-1)。为此，将
$$
\begin{array}{l}
{y^{}=R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}} \
{y^{} \quad=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda R(x)+R^{\prime}(x)\right]} \
{y^{ \prime}=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda^{2} R(x)+2 \lambda R^{\prime}(x)+R^{\prime \prime}(x)\right]}
\end{array}
$$
带入方程(8-1)并消去$e^{\lambda x}$，得
$$
R^{\prime \prime}(x)+(2 \lambda+p) R^{\prime}(x)+\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) R(x)=P_{m}(x)\tag{8-3}
$$

• 如果$\lambda$不是(8-2)式的特征方程的根，即$\lambda^{2}+p \lambda+q \neq 0$，

由于$P_m(x)$是一个$m$次多项式，要使(8-3)两端相等，那么可令$R(x)$为另一个$m$次多项式$R_m{x}$：
$$
R_{m}(x)=b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m-1} x+b_{m}
$$
代入(8-3)式，比较等式两端$x$同次幂的系数，就可以得到$b_0,b_1,…b_m$作为未知数的$m+1$个方程的联立方程组。从而可以定出这些$b_i$，并得到所求的特解$y^{*}=R_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$。

• 如哦$\lambda$式特征方程的单根

即$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$，,但$2 \lambda+p \neq 0$，要使(8-3)的两端相等，那么$R^{\prime}(x)$必须使$m$次多项式。此时令
$$
R(x)=x R_{m}(x)
$$
并且可以用同样的方法来确定$R_m(x)$的系数$b_{i}(i=0,1,2, \cdots, m)$。

• 如果$\lambda$使特征方程的重根

即$\lambda^{2}+p \lambda+q=0,且 2 \lambda+p=0$，要使(8-3)的两端相等，那么$R^{\prime \prime}(x)$必须是$m$次多项式。此时可令
$$
R(x)=x^{2} R_{m}(x)
$$
并用同样的方法来确定$R_{m}(x)$。

例：求微分方程$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x \mathrm{e}^{2 x}$的通解。

解：

所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且$f(x)$为$e^{\lambda x}P_m(x)$型，其中$\lambda=2,P_m(x)=x$。

对应齐次方程为
$$
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0
$$
该齐次方程的特征方程为
$$
r^{2}-5 r+6=0
$$
该特征方程有两个实根$r=2,r=3$。于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
$$
Y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}
$$
因为$\lambda=2$是特征方程的单根，所以设$y^*$为
$$
y^{}=x\left(b_{0} x+b_{1}\right) \mathrm{e}^{2 x}
$$
把它代入所给方程，得
$$
-2 b_{0} x+2 b_{0}-b_{1}=x
$$
比较两端同次幂系数，得
$$
\left{\begin{array}{l}
{-2 b_{0}=1} \
{2 b_{0}-b_{1}=0}
\end{array}\right.
$$
解得$b_{0}=-\frac{1}{2}, b_{1}=-1$，因此求得一特解
$$
y^{}=x\left(-\frac{1}{2} x-1\right) e^{2 x}
$$
从而所求特解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}-\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{2 x}
$$

$f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]$型

应用欧拉公式
$$
\cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right), \sin \theta=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right)
$$
把$f(x)$变成复变指数函数的形式，有
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \cos \omega x+Q_{n} \sin \omega x\right] \
&=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \frac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2}+Q_{n} \frac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}}-\mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}}\right] \
&=\left(\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega \mathrm{i}) x}+\left(\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega \mathrm{i}) x} \
&=P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega \mathrm{i}) x}+\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega \mathrm{i}) x}
\end{aligned}
$$
其中
$$
P(x)=\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}=\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2} \mathrm{i}, \bar{P}(x)=\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}=\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2} \mathrm{i}
$$
是互成共轭的$m$次多项式(即它们对应项的系数是共轭复数)，而$m=\max {l, n}$。

应用上一目的结果，使得$y_{1}^{}=x^{k} R_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}$，为方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}
$$
的特解，其中$k$按$\lambda+\omega i$不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取$0,1$.由于$f(x)$的第二项$\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}$与第一项$P(x) \cdot e^{(\lambda+\omega i) x}$成共轭，所以与$y^1$成共轭的函数$y{2}^{}=x^{k} \bar{R}{m} \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}$必然是方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}
$$
的特解，这里$\bar{R}{m}$表示与$R_m$成共轭的$m$次多项式。于是方程(8-1)具有形如
$$
y^{}=x^{k} R_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}+x^{k} \bar{R}{m} \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}
$$
的特解，上式可写成
$$
\begin{aligned}
y^{*} &=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m} \mathrm{e}^{\omega * \mathrm{i}}+\bar{R}{m} \mathrm{e}^{-\omega \mathrm{ri}}\right] \
&=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m}(\cos \omega x+\mathrm{i} \sin \omega x)+\bar{R}{m}(\cos \omega x-\mathrm{i} \sin \omega x)\right]
\end{aligned}
$$
由于括号内的两项是共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数的形式
$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
$$
综上所述，又如下结论

如果
$$
f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]
$$
则二阶常系数非齐次线性微分方程(8-1)的特解可设为
$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
$$
其中$R_{m}^{(1)}(x), R_{m}^{(2)}(x)$是$m$次多项式，$m=\max {l, n}$，而$k$按$\lambda+\omega i$或$\lambda-\omega i$不是特征方程的根，或是特征方程的单根以此取$0,1$。

---

欧拉方程

形如
$$
x^{n} y^{(n)}+p_{1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} x y^{\prime}+p_{n} y=f(x)\tag{9-1}
$$
的方程(其中$p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$为常数)，叫做欧拉方程。

作变换$x=e^{t}$或$t=\ln x$，将自变量$x$换成$t$，我们有
$$
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{1 \mathrm{d} y}{x \mathrm{d} t}\
&\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}\right)\
&\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{1}{x^{3}}\left(\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}\right)
\end{aligned}
$$
如果采用记号$D$表示对$t$求导的运算$\frac{d}{d t}$，那么上述计算结果可以写作
$$
\begin{array}{l}
{x y^{\prime}=\mathrm{D} y} \
{x^{2} y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) y=\left(\mathrm{D}^{2}-\mathrm{D}\right) y=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1) y} \
{x^{3} y^{\prime \prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} t^{3}}-3 \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}}+2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\left(\mathrm{D}^{3}-3 \mathrm{D}^{2}+2 \mathrm{D}\right) y=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1)(\mathrm{D}-2) y}
\end{array}
$$
一般地，有
$$
x^{k} y^{(k)}=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1) \cdots(\mathrm{D}-k+1) y
$$
把它代入欧拉方程(9-1)，便得一个以$t$为自变量的常系数线性微分方程。在求出这个方程的解后，把$t$换成$\ln x$，即得原方程的解。