高等数学(下册)第七章：向量代数与解析空间解析几何

Posted on 2019-12-21 Edited on 2024-04-10 In 学习笔记 , 数学 Views: Disqus: Word count in article: 8k Reading time ≈ 7 mins.

教材：《高等数学(下册)》——北京:高等教育出版社出版社

向量的概念及其计算

向量的线性运算

向量运算满足交换律与结合律
$$
a+b=b+a \
(a+b)+c=a+(b+c)
$$
三角不等式
$$
|a+b|\leq|a|+|b|,|a-b|\leq|a|+|b|
$$

数乘运算

$\lambda a$的模:$|\lambda|\cdot|a|$，其中$\lambda$为任意实数。

$\lambda a$与$a$平行。

推论：

$$
(\lambda\mu)a=\lambda(\mu a)=\mu (\lambda a),\
\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b,\
(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a
$$

向量的投影
若两非零向量$a,b$的夹角$\theta\neq\frac{\pi}{2}$，则可记向量$b$在向量$a$上的投影为$(b)_a$，或$Prj_aB$.
即
$$Prj_ab=(b)_a=|b|\cos\theta$$
性质
$(kb)_a=k(b)_a,(b+c)_a=(b)_a+(c)_a$

向量的数量积与向量积

数量积
定义

设有两个非零向量$a与b$，它们夹角为$(\widehat{a,b})$，称实数$|a||b|\cos(\widehat{a,b})$为向量$a与b$的数量积，记作$a\cdot b$，即有
$$
a\cdot b=|a|\cdot|b|\cos(\widehat{a,b})。
$$

若$a与b$中有一个零向量，则定义其数量积为零。

数量积的运算规律

交换律
$$
a\cdot b=b\cdot a,\
(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)
$$

分配律
$$
(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c
$$

向量的向量积

定义

设$a与b$是不

共线的非零向量，若存在向量$c$满足

$c$的模：$|c|=|a||b|\sin(\widehat{a,b})$;

$c$的方向满足右手系法则，如图;

则称$c$为两向量$a,b$的向量积，也称作叉乘，记作$c=a\times b$.
共线向量的向量积为零向量。

向量积的规律
$$
a\times b=-b\times a (反交换律),\
\lambda(a\times b)=(\lambda a)\times b=a\times (\lambda b) (与数乘的结合律),\
(a+b)\times c=a\times c+b\times c (分配律)
$$

空间直角坐标系

在空间中任取一点$O$，过点$O$做相互垂直的三条数轴:$x,y,z$,，分别称为横轴、纵轴和竖轴。

空间中点的坐标

三个实数构成的三元有序数列的全体记作$R^3$表示空间中的坐标。即：
$$
P^3={(x,y,z)|x,y,z\in R}
$$

向量的坐标

表示：
$$
a=(x,y,z),或a(x,y,z)
$$
以$i,j,k$表示与$x,y,z$轴正向的单位向量。有：
$$
i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1).
$$
向量的分解式
$$
\overrightarrow{OP}=xi+yj+zk
$$
其中$xi,yj,zk$分别称为$a$沿$x,y,z$轴方向的分向量。

向量的运算及其向量有关量的坐标表示

加减运算

设有向量$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_3)$，则有
$$
\begin{align}
a\pm b&=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2)\
&=(x_1\pm x_2)i+(y_1\pm y_2)j+(z_1\pm z_2)k
\end{align}
$$

数乘运算

若$y$为实数，则
$$
\begin{align}
\lambda a&=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\
&=\lambda xi+\lambda yj+\lambda zk
\end{align}
$$
平行的冲要条件：
$$
a=(a_x,a_y,a_z)\parallel b=(b_x,b_y,b_z)\
\iff \frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}
$$

向量的数量积

若两向量$a=x_1i+y_1j+z_1k,b=x_2i+y_2j+z_3k$，则
$$
a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
$$

向量的模与单位向量

$a$的模：
$$
|a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$
单位向量：
$$
e_d=\frac{a}{|a|}=\frac{xi+yj+zk}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)
$$

向量坐标的计算、两点检距离公式及中点坐标

设有点$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$，则
$$
\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}
=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
$$
距离为：
$$
|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}
$$
中点坐标：
$$
P_0=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})
$$

两向量的夹角公式和向量的方向余弦

设有两点$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2)

则两向量夹角的余弦为：
$$
\cos(\widehat{a,b})=\frac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|}
=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}
$$
若$a\bot b$:
$$
a\bot b\iff x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0
$$
方向余弦：

定义非零向量$a$与$i,j,k$的夹角$\alpha,\beta,\gamma$分别为$a$，与$x,y,z$轴的夹角，通常称为方向角。则三个方向角的余弦分别为：
$$
\cos\alpha=\frac{x\cdot 1+y\cdot 0+z\cdot 0}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot |i|=\frac{x}{|a|}\
\cos\beta=\frac{y}{|a|}\
\cos\gamma=\frac{z}{|a|}
$$
同时，
$$
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(\frac{x}{|a|},\frac{y}{|a|},\frac{z}{|a|})=\frac{1}{|a|}(x,y,z)
$$
易验证：
$$
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\
\implies e_a=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
$$

向量的投影

向量的数量积与向量的投影之间的关系:
$$
a\cdot b=|a||b|\cos(\widehat{a,b})=|a|(b)_a(a\neq0),\
\implies (b)_a=\frac{a\cdot b}{|b|}
=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}}
$$

向量的向量积

设有向量$a(x_1,y_1,z_1),b(x_2,y_2,z_2)$

则有：
$$
\begin{align}
a\times b&=(x_1j+y_1j+z_1k)\times (x_2i,y_2j,z_2k)\
&=x_1i\times(x_2i,y_2j,z_2k)+y_1\times(x_2i,y_2j,z_2k)+z_1\times(x_2i,y_2j,z_2k)\
&=(y_1z_2-y_2z_1)i+(z_1x_2-x_1z_2)j+(x_1y_2-x_2y_1)k
\end{align}
$$
行列式形式：
$$
a\times b=
\begin{vmatrix}
i& j& k\
x_1& y_1& z_1\
x_2& y_2& z_2
\end{vmatrix}
$$

向量的混合积

定义:

设有三个向量$a,b,c$先作两向量$a,b$的向量积$a\times b$，再求所得到的新的向量$a\times b$与向量$c$的数量积$(a\times b)\cdot c$称为三向量$a,b$和$c$的混合积，记作$[a b c]$

坐标表示：

设有向量$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2),c=(x_3,y_3,z_3)$
$$
a\times b=
\begin{vmatrix}
i& j& k\
x_1& y_1& z_1\
x_2& y_2& z_2
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
y_1& z_1\
y_2& z_2
\end{vmatrix}i-
\begin{vmatrix}
x_1& z_1\
x_2& z_2
\end{vmatrix}j+
\begin{vmatrix}
x_1& y_1\
x_2& y_2
\end{vmatrix}k,
$$
而
$$
\begin{align}
[a,b,c]&=(a\times b)\cdot c\
&=
\Big(\begin{vmatrix}
y_1& z_1\
y_2& z_2
\end{vmatrix},
-\begin{vmatrix}
x_1& z_1\
x_2& z_2
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
x_1& y_1\
x_2& y_2
\end{vmatrix}\Big)\cdot(x_3,y_3,z_3)\
&=
\begin{vmatrix}
y_1& z_1\
y_2& z_2
\end{vmatrix}x_3-
\begin{vmatrix}
x_1& z_1\
x_2& z_2
\end{vmatrix}y_3+
\begin{vmatrix}
x_1& y_1\
x_2& y_2
\end{vmatrix}z_3\
&=
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1\
x_2 & y_2 & z_2\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}
\end{align}
$$

三个向量$a,b,c$共面的充分条件：
$$
[a,b, c]=0
$$

平面

平面的法线向量

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫该平面的法线向量

平面的方程

点法式
$$
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
$$
一般式
$$
Ax+By+Cz+D=0,(A,B,C不全为零)
$$
截距式

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
$$

两平面的夹角

两平面的法线向量的夹角(通常指锐角或直角)称为两平面的夹角。

按两向量夹角余弦的坐标表达式，两平面的夹角$\theta$可由
$$
\cos \theta=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} \tag{3-8}
$$
来确定。

从而两向量垂直，平行的充要条件立即推得一下结论:

互相垂直
$$
A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}=0
$$
互相平行或重合
$$
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}
$$

点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$到平面$A x+B y+C z+D=0$的距离公式
$$
d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \tag{3-11}
$$

空间直线

空间直线的一般式方程

两平面交线上$l$上的点必同时在两平面上，于是
$$
\left{\begin{array}{l}
{A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0} \
{A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0}
\end{array}\right. \tag{4-1}
$$

空间直线的点向式方程和参数方程

$$
\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}=t
$$

则
$$
\left{\begin{array}{l}
x=x_{0}+m t \
y=y_{0}+n t \
z=z_{0}+p t
\end{array}\right. \tag{4-3}
$$
方程组(4-3)就是直线的参数方程。

两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫做两直线的锐角。

设两直线的方向向量以此为$s_{1}=\left(m_{1}, n_{1}, p_{1}\right),s_{2}=\left(m_{2}, n_{2}, p_{2}\right)$，则$\cos\varphi=|\cos(\widehat{s_1,s_2)}|$，按向量夹角的余弦公式，夹角$\varphi$可由
$$
\cos \varphi=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}
$$
确定。

直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线与平面的夹角与它在平面上投影直线的夹角$\varphi\left(0 \leqslant \varphi\leq\frac{\pi}{2}\right)$称为直线与平面的夹角.
$$
\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}
\tag{4-6}
$$
直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以
$$
\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}
$$
而直线与平面时，相当于与方向向量垂直
$$
A m+B n+C p=0
$$

曲面及其方程

旋转曲面

社在$xOz$坐标上有一已知曲线$C$，它的方程为
$$
f(y, z)=0
$$
则其绕$z$轴旋转一周的曲线方程为
$$
f(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z)=0
$$
同理，绕$y$轴曲线一周的曲面方程为
$$
f(y, \pm \sqrt{x^{2}+z^{2}})=0
$$

二次曲面

把三元二次方程$F(x,y,z)=0$所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。

椭圆锥面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}
$$

椭球面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$$

单叶双曲面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$$

双叶双曲面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$$

椭圆抛物面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z
$$

双曲抛物面

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z
$$

空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

两个曲线的交线就是空间曲线的方程
$$
\left{\begin{array}{l}
F(x, y, z)=0 \
G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
$$

空间曲线的参数方程

$$
\left{\begin{array}{l}
x=x(t) \
y=y(t) \
z=z(t)
\end{array}\right.
$$

曲面的参数方程

$$
\left{\begin{array}{l}
x=x(s, t) \
y=y(s, t) \
z=z(s, t)
\end{array}\right.
$$

空间曲面在坐标上的投影

$$
\left{\begin{array}{l}
H(x, y)=0 \
z=0
\end{array}\right.
$$