高等数学(上册)第三章：微分中值定理和导数的应用

Posted on 2020-02-02 Edited on 2024-04-10 In 学习笔记 , 数学 Views: Disqus: Word count in article: 3k Reading time ≈ 3 mins.

微分中值定理

费马定理

通常称导等于零的点为函数的驻点(或稳定点，零界点)

罗尔定理

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足：

在闭区间$[a,b]$上连续；
在开区间$(a,b)$可导，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi \quad(a<\xi<b)$，使等式：
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)
$$
成立。

几何意义

上式可变换为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)
$$

如果连续曲线$y=f(x)$的弧$\widehat{AB}$上除端点以外，处处具有不垂直与$x$轴的切线，那么曲线上至少有一点的切线平行于$AB$.

柯西中值定理

如果函数$f(x),F(x)$满足:

在闭区间$[a,b]$上连续；
在开区间$(a,b)$可导，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使等式

$$
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}
$$

洛必达法则

定理一

例题求$\lim\frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$

解

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-3}{x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x}{6 x-2}=\frac{3}{2}
$$

注意：上式中的$\lim\frac{6x}{6x-2}$已不是不定式，不能对它使用洛必达法则。

定理二

例：求$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}$,($n$为正整数，$\lambda>0$)

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{n}}{\mathrm{e}^{\lambda x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n x^{n-1}}{\lambda \mathrm{e}^{\lambda x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n(n-1) x^{n-2}}{\lambda^{2} \mathrm{e}^{\lambda x}}=\cdots=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n !}{\lambda^{n} \mathrm{e}^{A x}}=0
$$

泰勒公式

泰勒中值定理1

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该领域内的任一$x$，有
$$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)
$$
其中，
$$
R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$

泰勒中值定理2

可得近似式
$$
f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}
$$
对应的误差估计式变成
$$
\left|R_{n}(x)\right| \leqslant \frac{M}{(n+1) !}|x|^{n+1}
$$
例：写出函数的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式.

因为
$$
f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^{x}
$$
所以
$$
f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=1
$$
得
$$
\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(0<\theta<1)
$$
此时产生的误差为
$$
\left|R_{n}(x)\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1}\right|<\frac{\mathrm{e}^{|x|}}{(n+1) !}|x|^{n+1} \quad(0<\theta<1)
$$
如果取$x=1$，则得到无理数$e$的近似式为
$$
\mathrm{e} \approx 1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}
$$
其误差为
$$
\left|R_{n}\right|<\frac{e}{(n+1) !}<\frac{3}{(n+1) !}
$$
当$n=10$时可算出$e\approx 2.718 282$，其误差不超过$10^{-6}$。

函数的单调性和曲线的凹凸性

函数单调性的判定法

定理一

曲线的凹凸性和拐点

函数的极值与最大值和最小值

函数极值的求法

曲率

我们用$\frac{|\Delta\alpha|}{\Delta s}$,即单位弧段上切线转过的大小来表示弧段$\widehat{MM^{\prime}}$的平均程度，把该比值叫做它的平均曲率，记作$\overline{K}$,即
$$
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

直线的曲率为零，圆的曲率为$\frac{1}{a}$。

弧微分公式

$$
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{d} x
$$

曲率半径公式

$$
R=\frac{1}{k}=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left[1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{f^{\prime \prime}}
$$

推导过程见：https://www.cnblogs.com/fujj/p/9704589.html

对于参数方程确定的曲线