知识点：如何通俗理解泰勒公式？
如何通俗地解释泰勒公式？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/111173412
如何通俗地解释泰勒公式？ - 知乎用户的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/734966062
据说泰勒有一天无聊玩 GeoGebra 的时候，在输入框里输了：
然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个A值。
屏幕上函数图像不断变化着，但那线条总是歪七八扭，不听使唤。他认真了起来，扩大了A值的范围和精度，逐渐找到规律之后，他已经能够调出 剑尖，牙齿，猫耳 等图像。
他不断增加项数，调整参数，他发现增加的项数越多，他就越能掌控图像的变化。他像扭铁丝似的上下弯折着曲线，无意中调出了一段波浪形的图像，看着似乎挺眼熟……
——这不是 sin 函数吗！
他抑制不住自己的兴奋，赶紧输入了标准的 sin 函数进行对比，同时继续调整多项式，使这个山寨函数尽可能地贴近正品。
他仔细端详着，单看眼前这一段，简直可以以假乱真，不过越到后面，分歧也就越明显了。
他猛然意识到："我能够控制多项式画出任意图像！甚至把它伪装成其他函数！"
但是他很快冷静了下来，问了自己一连串的问题：
所谓的任意，可以是无限制的任意吗？
我能否完美地"伪装"出一个目标函数？
如果不能，那又能够伪装到何种程度？
摆在眼前的具体问题就是，能否"伪装"出一个完美的 sin 函数？
他决定一探究竟。
如果存在某 n 次多项式等于 sin(x);
则其导函数也等于 sin(x) 的导函数；
它的二阶导也等于 sin(x) 的二阶导；
它的三阶导也等于 sin(x) 的三阶导；
……
它的 n 阶导也等于 sin(x) 的 n 阶导。
可是，每求导一次，多项式就会降一阶。求到 n 阶导不就变成常数了吗？再导不就归零了吗！
而 sin(x) 可以无穷阶求导，所以无论 n 有多大，都不可能完美伪装出 sin 函数。
除非…… n 为无穷大？
这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？
首先，经过调整，可以使二者的起点一致；
然后，可以调整使二者在该点处斜率一致；
再然后，可以调整该点处的二阶导数一致；
再然后，可以调整该点处的三阶导数一致；
……
总之，我们总可以使该点处 n 阶导数一致。
而 n 可以无限递增下去，我们的"伪装"就可以无限逼近目标函数。
☆ 挑战读者：
故事发展至此，事件的线索已经全部给出，真相已经呼之欲出了！请诸君充分动用自己的聪明才智，解开这个谜团，揭开凶手(泰勒公式)的真面目吧! ——埃勒里·泰勒·奎因
看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度……他忍不住做起了一个思想实验：
没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地，毫无自由可言。
给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；
若再给定一个加速度，我们可以使速度均匀变化，从而产生拐弯运动；
若再给定加速度的变化率，我们使加速度均匀变化，速度拐弯变化，产生可转向拐弯运动；
……
如果一开始就设定好质点的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的话，正如用一只无形的手调控着它的命运，那么无论想让它何时拐，往何处拐，如何拐……就全都在初始条件的设计之中了！[1]
这一刻，他仿佛触摸到了力量，触摸到了真理，触摸到了前所未有的自由！
他大吼一声：“泰勒展开！”，写下了"那个公式"：
写罢，他对世界呼喊道：“这，就是我的初始条件！”
那一瞬间，后世所有数学系学生的苦逼命运已经全然决定，只能沿着他所设定的路线挣扎前行，沉沦其中，无法挣脱。
正当泰勒沉溺于力量之中时，他不知道，一个叫做傅里叶的人即将在圆周运动之中窥探到更深层的秘密，解开另一道更为强大的封印！这股新力量的出现到底是会终结泰勒的诅咒呢？还是会将诅咒变得更为凶残……
无论最终结果将人类历史导向何处，我决定选择狗带！
参考
- ^从这里反过来也可以回答一开始"图像的'任意'有怎样的限制"这个问题了。它的限制就是：有质量的物体在设定好初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的情况下可能形成的运动轨迹。因为物体有质量，有惯性，初始条件又是静态的，所以运动路线是受限的，不是任意的图像，但是也有足够丰富的变化了。